X·Y + X̄·Z + Y·Z̄ — Boolean simplification
exam standardabsorption after consensus; Y absorbs two terms
Answer
X′ · Z + Y
Why this example is worth doing
Deliberately not written in A, B, C — problem sets use X, Y, Z, and P, Q, R for propositional logic, and a tool that silently renames variables produces an answer the student cannot hand in. Substantively this one needs two laws in sequence: X·Y and Y·Z̄ have consensus, and once the dust settles Y absorbs both of the terms containing it, leaving a sum of one single literal and one product. Stopping after the first law leaves a three-term answer that looks finished.
Try your own input in the Boolean algebra simplifier. Simplify any expression to its minimal SOP and POS, one named law at a time.
How the answer is reached
Step by step
X · Y + X′ · Z + Y · Z′X · Y + X′ · Z + X′ · Z + Y · Z′— Idempotent — A + A = A
X · Y + X′ · Z + X′ · Z + Y · Z′X · Y + X′ · Z + X′ · Z · 1 + Y · Z′— Identity — A · 1 = A
X · Y + X′ · Z + X′ · Z · 1 + Y · Z′X · Y + X′ · Z + X′ · Z · (Y + Y′) + Y · Z′— Complement — A + A' = 1
X · Y + X′ · Z + X′ · Z · (Y + Y′) + Y · Z′X · Y + X′ · Z + X′ · Y · Z + X′ · Y′ · Z + Y · Z′— Factoring (distributive, right to left) — A · B + A · C = A · (B + C)
X · Y + X′ · Z + X′ · Y · Z + X′ · Y′ · Z + Y · Z′X · Y + X′ · Z + X′ · Y · Z + X′ · Y′ · Z + Y · Z′ · 1— Identity — A · 1 = A
X · Y + X′ · Z + X′ · Y · Z + X′ · Y′ · Z + Y · Z′ · 1X · Y + X′ · Z + X′ · Y · Z + X′ · Y′ · Z + Y · Z′ · (X + X′)— Complement — A + A' = 1
X · Y + X′ · Z + X′ · Y · Z + X′ · Y′ · Z + Y · Z′ · (X + X′)X · Y + X′ · Z + X′ · Y · Z + X′ · Y′ · Z + X · Y · Z′ + X′ · Y · Z′— Factoring (distributive, right to left) — A · B + A · C = A · (B + C)
X · Y + X′ · Z + X′ · Y · Z + X′ · Y′ · Z + X · Y · Z′ + X′ · Y · Z′X · Y + X′ · Z + X′ · Y · Z + X′ · Y′ · Z + X′ · Y · Z′— Absorption — A + A · B = A
X · Y + X′ · Z + X′ · Y · Z + X′ · Y′ · Z + X′ · Y · Z′X · Y + X′ · Z + X′ · Y · (Z + Z′) + X′ · Y′ · Z— Factoring (distributive, right to left) — A · B + A · C = A · (B + C)
X · Y + X′ · Z + X′ · Y · (Z + Z′) + X′ · Y′ · ZX · Y + X′ · Z + X′ · Y · 1 + X′ · Y′ · Z— Complement — A + A' = 1
X · Y + X′ · Z + X′ · Y · 1 + X′ · Y′ · ZX · Y + X′ · Z + X′ · Y + X′ · Y′ · Z— Identity — A · 1 = A
X · Y + X′ · Z + X′ · Y + X′ · Y′ · ZY · (X + X′) + X′ · Z + X′ · Y′ · Z— Factoring (distributive, right to left) — A · B + A · C = A · (B + C)
Y · (X + X′) + X′ · Z + X′ · Y′ · ZY · 1 + X′ · Z + X′ · Y′ · Z— Complement — A + A' = 1
Y · 1 + X′ · Z + X′ · Y′ · ZY + X′ · Z + X′ · Y′ · Z— Identity — A · 1 = A
Y + X′ · Z + X′ · Y′ · ZY + X′ · Z— Absorption — A + A · B = A
Y + X′ · ZX′ · Z + Y— Commutative — A + B = B + A
X · Y + X′ · Z + Y · Z′ simplifies to X′ · Z + Y in 16 steps. That is a proven minimum (2 terms, 3 literals), not a best effort. It is the only minimum-cost form.
Quine–McCluskey
| # | Term |
|---|---|
| 1 | X′ · Z |
| 2 | Y |
| # | Cover |
|---|---|
| 1 | X′ · Z + Y |
2 term(s), 3 literal(s); 2 essential prime implicant(s).
Truth table
| # | X | Y | Z | F |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 |