(A + B)·(Ā + C)·(B + C) — Boolean simplification
coreconsensus in POS; (B + C) is redundant
Answer
A′ · B + A · C
Why this example is worth doing
The dual of the consensus example, and the form in which the theorem is actually needed when you are working from a product of sums. (B + C) is the consensus of (A + B) and (Ā + C) and drops out. Students who have only memorised the SOP statement of consensus do not recognise it here, which is the point of carrying both. The page prints the minimal SOP too so you can see that the same function has a two-term sum and a two-factor product of the same cost.
Try your own input in the Boolean algebra simplifier. Simplify any expression to its minimal SOP and POS, one named law at a time.
How the answer is reached
Step by step
(A + B) · (A′ + C) · (B + C)A · (A′ + C) · (B + C) + B · (A′ + C) · (B + C)— Distributive — A · (B + C) = A · B + A · C
A · (A′ + C) · (B + C) + B · (A′ + C) · (B + C)A · A′ · (B + C) + A · C · (B + C) + B · (A′ + C) · (B + C)— Distributive — A · (B + C) = A · B + A · C
A · A′ · (B + C) + A · C · (B + C) + B · (A′ + C) · (B + C)0 · (B + C) + A · C · (B + C) + B · (A′ + C) · (B + C)— Complement — A · A′ = 0
0 · (B + C) + A · C · (B + C) + B · (A′ + C) · (B + C)0 + A · C · (B + C) + B · (A′ + C) · (B + C)— Null (annihilation) — A · 0 = 0
0 + A · C · (B + C) + B · (A′ + C) · (B + C)A · C · (B + C) + B · (A′ + C) · (B + C)— Identity — A + 0 = A
A · C · (B + C) + B · (A′ + C) · (B + C)A · C · B + A · C · C + B · (A′ + C) · (B + C)— Distributive — A · (B + C) = A · B + A · C
A · C · B + A · C · C + B · (A′ + C) · (B + C)A · C · B + A · C + B · (A′ + C) · (B + C)— Idempotent — A · A = A
A · C · B + A · C + B · (A′ + C) · (B + C)A · C · B + A · C + B · A′ · (B + C) + B · C · (B + C)— Distributive — A · (B + C) = A · B + A · C
A · C · B + A · C + B · A′ · (B + C) + B · C · (B + C)A · C · B + A · C + B · A′ · B + B · A′ · C + B · C · (B + C)— Distributive — A · (B + C) = A · B + A · C
A · C · B + A · C + B · A′ · B + B · A′ · C + B · C · (B + C)A · C · B + A · C + B · A′ + B · A′ · C + B · C · (B + C)— Idempotent — A · A = A
A · C · B + A · C + B · A′ + B · A′ · C + B · C · (B + C)A · C · B + A · C + B · A′ + B · A′ · C + B · C · B + B · C · C— Distributive — A · (B + C) = A · B + A · C
A · C · B + A · C + B · A′ + B · A′ · C + B · C · B + B · C · CA · C · B + A · C + B · A′ + B · A′ · C + B · C + B · C · C— Idempotent — A · A = A
A · C · B + A · C + B · A′ + B · A′ · C + B · C + B · C · CA · C · B + A · C + B · A′ + B · A′ · C + B · C + B · C— Idempotent — A · A = A
A · C · B + A · C + B · A′ + B · A′ · C + B · C + B · CA · C · B + A · C + B · A′ + B · A′ · C + B · C— Idempotent — A + A = A
A · C · B + A · C + B · A′ + B · A′ · C + B · CA · B · C + A · C + A′ · B + A′ · B · C + B · C— Commutative — A · B = B · A; A + B = B + A
A · B · C + A · C + A′ · B + A′ · B · C + B · CA · C + A′ · B + A′ · B · C + B · C— Absorption — A + A · B = A
A · C + A′ · B + A′ · B · C + B · CA · C + A′ · B + B · C— Absorption — A + A · B = A
A · C + A′ · B + B · CA · C + A′ · B— Consensus — A · B + A′ · C + B · C = A · B + A′ · C
(A + B) · (A′ + C) · (B + C) simplifies to A · C + A′ · B in 18 steps. That is a proven minimum (2 terms, 4 literals), not a best effort. It is the only minimum-cost form.
Quine–McCluskey
| # | Term |
|---|---|
| 1 | A′ · B |
| 2 | B · C |
| 3 | A · C |
| # | Cover |
|---|---|
| 1 | A′ · B + A · C |
2 term(s), 4 literal(s); 2 essential prime implicant(s).
Truth table
| # | A | B | C | F |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 |